Matematikångest och dess effekt på inlärning

...var titeln på en föreläsning jag lyssnade på idag. Det var en dag på Campus Helsingborg, som förresten verkar vara ett mycket trevligt universitet i "det lilla formatet" och det var skolfolk blandat med både "doktorer och doktorander". Föreläsaren var Dr Derek Haylock från University of East Anglia, England.

Haylock använde många bra exempel, bland annat beskrev han sina två döttrar (nu vuxna), den ena tyckte bara det var intressant när hennes pappa förklarade hur först 30% rea och sedan 20% kunde bli en sammanlagd rea på 44% medan den andra dottern slog händerna för öronen och gallskrek att han skulle sluta genast, annars skulle hennes huvud spricka, så förvirrande var det med matte. Gissa vilken av dem som nu är lärare i matematik? Jo, hon med matematikångest, eller math anxiety, som Haylock kallar det. Jag återkommer till hur hon hanterar det. Detta är ett område som är väl beforskat i USA, England och andra delar av världen, men nästan inte alls varit föremål för forskning i Skandinavien. Säkert är det en stor orsak till matematiksvårigheter även hos oss, vi har alla mött elever och vuxna som har tendenser till matteskräck, oro eller ångest när det kommer till nya situationer i matematiken.

Haylock definierar matematikångest som en komplex, känslomässig reaktion vid matematikuppgifter eller blott tal om dem. Det handlar om känslor som rädsla, panik och direkt undvikande. Det är normalt att oroa sig och vara orolig att göra fel, särskilt på prov men detta är något som går utanpå detta. Det handlar om en ohälsosam nivå av skräck, rädsla och oro, särskilt när man utsätts för matteuppgifter inför andra. Den som drabbas får omöjligt att tänka klart och använda kunskaper som hon eller han har. Människan, för detta finns såväl som vuxna som skolelever, är ofta övertygade att de inte "kan matematik" och att de aldrig kommer att klara detta ämne i skolan. Detta leder till att situationer där matematik förekommer undviks, och i klassrummet försöker man desperat lära sig en rad metoder, strategier, procedurer utantill. Många klarar sig tillräckligt bra på detta, och i förlängningen innebär det att dessa personer kanske själva läser en lärarutbildning och hamnar i situationen att de ska undervisa barn i matematik. Just så blev det för Haylocks dotter. Hon är en lärare som har en mycket strikt planering i matematik och håller sig stenhårt i den. Om barnen frågar om något hon inte förutsett svarar hon vänligt att hon ska förklara det dagen efter, och så gör hon. Haylock tar upp att detta är vanligare än man kan tro. Och att många mattelärare med matteskräck omedvetet för över denna på sina elever. 

I was good at geometry, but really frightened of all the rest.
Maths struck terror in my heart: a real fear that has stayed with me from over 20 years ago.
I had nightmares about maths. They only went away when I passed my A level!
It worried me a great deal. Maths lessons were horrific (starka röster om matematik)

Haylock beskrev effekterna av matteångesten, den följer med skolelever in i vuxenlivet och begränsar möjligheter och potential, både för vidare studier och yrkesval. Många elever som upplever matteångest i situationer med ej välbekanta matematikuppgifter utvecklar som beskrivits en stark fokusering på lösande av rutinuppgifter och att minnas en massa regler och detta leder inte till förståelse och djupt lärande, det upplevs inte heller meningsfullt och motiverande. Att ha matteångest samspelar också med arbetsminnet som blir nedsatt. Eftersom eleverna undviker matteuppgifter, tränas de mindre och förmågorna blir dåliga. Det värsta som kan hända är att eleven hamnar helt utanför lärandet, detta är också en av drivkrafterna bakom den formativa undervisningen, där det inte blir möjligt att misslyckas och ställa sig utanför lärsituationen. Det är lätt att dra kopplingen till svaga läsare, som har svårt att läsa, som undviker läsning och därigenom blir allt svagare för att till slut hamna utanför läsandets värld.

Haylock talade en lång stund om vikten av att få igång elevers divergenta tänkande, kreativitet och flexibilitet. Han tog upp (bäst idag...) att det ofta är bra att hitta mönster i matematikuppgifter/problem. Men att vi ibland måste ta ett steg tillbaka och hitta en roligare, mer oväntad, kreativ lösning. Tänka kreativt och hålla möjligheten öppen att det finns en mer intressant lösning! Han beskrev en bra uppgift:
Bilda så många meningar du kan som innehåller talen (inte siffrorna) 3, 4 och 7
Eleverna hittade på:
3 adderat med 4 är lika med 7
Jag har 7 kaniner, 4 rymmer, då har jag 3 kvar
7 kr är 4 kr mer än 3 kr
...men också:
4 är ett tal som ligger mellan 3 och 7
3 gånger 4 är inte lika med 7...

Du kan också utmana dina elever genom att be dem förklara vad det finns för likheter mellan talen 16 och 36.
You get extra points for using lots of different ideas and for coming up with ideas that no-one else thinks of!

Intressant bild, prickarna uppe till vänster representerar en grupp elever  som har goda testresultat/kunskaper i matematik men en låg grad av matematisk kreativitet. De kännetecknas av hög matematikångest, de har en låg självkänsla och de tar inte gärna några risker, då kan de misslyckas. Gruppen uppe till höger har samma testresultat/kunskaper i matematik men en hög grad av matematisk kreativitet. De kännetecknas av brist på matematikångest, de tycker det är spännande med nya matteproblem, deras tänkande är flexibelt, de har en mycket god självkänsla och förväntar sig att de ska fortsätta lyckas i sitt lärande. De antar gärna nya utmaningar och tar risker, de vet att misslyckanden bara kan leda till att de lär sig ännu mer.

Nu har det handlat länge om hur matteångest ser ut och yttrar sig. Och du som läser är säkert lärare och intresserad av att få reda på vad man som lärare kan göra för att undvika eller lindra elevers matteskräck/oro/ångest.

• Undervisa så att eleverna upplever meningsfullhet och bygg på förståelse istället för att fokusera på ett antal rutinmetoder för olika slags matematikuppgifter.
• Var mycket uppmärksam på om någon elev visar tecken på matteångest, utsätt inte för pressande situationer, förvänta dig inte att de ska svara på frågor eller förklara sina lösningar inför andra elever.
• Begränsa dig inte till uppgifter som har ett absolut rätt (och ett antal möjliga fel...) svar.
• Skaffa ett klassrumsklimat där misstag och fel är tillåtna och välkomna, där elever vet att deras frågor är välkomna och att läraren vill veta om de inte förstår.
• Var noga med att balansera utmaningar med succéer, eleverna måste lyckas ofta!
• Försäkra dig om att inte bara rätta svar är det som lyfts upp och premieras på mattelektionerna. Uppmärksamma, hylla och "sätt poäng på" när eleverna har bra idéer, tänker kreativt, arbetar med energi och arbetar processinriktat.
• Tänk på att en del barn behöver mer tanketid än andra, påminn om att matematik inte är en höghastighetstävling, och att svar inte måste komma inom ett par sekunder.
• Gör matematiken lustfylld och rolig för eleverna, de måste vilja delta för att kunna utveckla sitt lärande och lyckas!
• Prata ofta om hur mycket du tycker om matematik, din entusiasm smittar!
• Varje gång du ger eleverna något slags test, poäängtera att det egentligen är för din skull, så att du får syn på om din undervisning varit effektiv och kan förbättra den ytterligare.
• Teach maths well!

Derek Haylock har skrivit flera böcker om matematikdidaktik. Denna blev jag sugen på att läsa!

Bedömning för lärande i matematik

Skolverket har i dagarna publicerat ett nytt bedömningsstöd i matematik för alla årskurser i grundskolan. I senaste Nämnaren (du prenumererar väl?) finns en utmärkt kom-igång-beskrivning och materialet laddar du förstås ner fritt från Skolverket.

 

Bedömningsstödet består av olika delar:

• En generell bedömningsmatris  som kan användas vid bedömning och dokumentation
• Centralt innehåll i tabellform för de olika områdena taluppfattning och tals användning, algebra, geometri, sannolikhet och statistik samt samband och förändring.

Dessa delar används av läraren vid planering av ett arbetsområde för att skapa ett underlag för bedömning, och omfattar både lärar- och elevdokumentation. Detta talar de allmänna råden om undervisningen mycket om och de är ett viktigt redskap i den formativa undervisningen.

Det jag tycker mycket om i materialet är den struktur som beskrivs:

• Planera vad som ska bedömas utifrån kursplan med kunskapskrav
• Välja relevanta uppgifter och bedömningssituationer
• Analysera och bedöma resultaten
• Dokumentera, ge gensvar och arbeta vidare utifrån detta

Ladda ner materialet, diskutera det och prova att använda det. Är det något vi behöver så är det väl ett bra hands-on-material för planering och bedömning?

 

Problem som inspirerar

I Mattelyftet arbetar lärarna i åk 1-3 med problemlösning och vid senaste träffen pratade vi om var man kan hitta bra, rika problem att arbete med. Många hade tips och här kommer lite länkar.


Gruppledtrådar Prima åk 6

Rika problem (kanske mest för lite äldre elever)

 Rika matematiska problem, 14 sidor gratisproblem här

 

                                                        ABC Matteproblem i tre nivåer

 

                                                           32 rika problem i matematik
Rika problem , webb-material (på engelska)
Problemavdelningen NCM - massor av problem från Nämnaren

 

                                                          Massor av geometriproblem

                                                                      Multimatte
Material från Askunge:

 

Lös ett problem i veckan, olika nivåer och smakprov

 

 

                                                           Lyckas med problemlösning

                                                           Läs in räkna ut - logik och klurigheter

 

 

 

Ledtrådsmatte 1 och 2












Känguruproblem

Problemlösningskort

Julkalender från Prima, återanvänd problemen hela året

Kommentera gärna med fler tips på problem!
/Christel

Appar och program om tal

Att kunna dela upp tal är viktigt.
Att lära sig det genom roliga spel och appar är smart och effektivt (omedelbar feedback, tävlingsinstinkt...)!


Math Doodles (22 kr Appstore) har två bra spel för just detta: Sum Stacker och Connect Sums

Super 7 är ett roligt beroendeframkallande spel där man ska bilda talet 7. (Appstore)

Math lines är ett enkelt spel som dina elever kan arbeta med vid datorn.

Math Zombie tränar också uppdelning av tal ( 7 kr Appstore)







Positionssystemet

 

 



Ett roligt sätt att jobba med positionssystemet är Math Bugs (7 kr Appstore)

Number Pieces basic är ett digitalt multibas-redskap (Gratis Appstore)







Den bästa sidan att hitta bra appar (alla ämnen) är SKOLAPPAR


Geten i hagen

...andra avsnittet i vår medvetna matematik är nu geometri. Eftersom vi i åk 9 fokuserar på volymgeometri valde vi ett inledande problem som kräver kunskaper om area.

En get är bunden mitt på en sida av en kvadratisk hage med kanten 50 m.
Hur långt rep ska geten ha för att den ska kunna beta av halva hagens yta?


Eleverna arbetade först enskilt, sedan i par och dagen efter skulle vi ha en helklassdiskussion om olika lösningar. När eleverna arbetade med problemet upptäckte vi att det var betydligt svårare än någon av oss hade trott. Vi lärare gjorde några olika lösningar, och tog problemet med oss till kommunens samtliga mattelärare åk 7-9 som hade mattelyftsträff, där fick vi ytterligare några förslag till lösningar.
Här är ett antal av de olika lösningar vi lyfte i helklassdiskussionen:

Det var här problemet blev svårt. Om man "räknar baklänges" får man en replängd (radien i halvcirkeln) n på 28,2 m - det betyder att geten skulle behöva beta utanför hagen, se de röda streckade markeringarna. Sådana kan man oftast inte räkna ut i åk 9 :(

 

Här tolkade eleven problemet som att geten åt halva ytan (och lite till) och använde Pythagoras sats för att räkna ut repets längd.

En ung dam i en klass blev "lite" frustrerad över att ingen av oss lärare förstod hur hon tänkte när hon löste problemet, men efter en natt och lite mer förklaringar (och kanske mindre ludd i lärarörat) så kom vi fram till att Christel och den unga damen hade löst problemet på ett liknande sätt, nämligen genom att "titta"/räkna efter hur stor del av halvcirkeln som går nedanför mitten, och jämföra den med de bitar som "hamnar utanför hagen". Det kan också göras rent grafiskt med hjälp av en skalenlig ritning där man med hjälp av passare ritar ut en halvcirkel och räknar rutor tills hälften är täckta. Ibland är den "enklaste" lösningen den mest tydliga och den man löser problemet med:)

Det talades en hel del om getter och hagar i Höör denna kväll, det kan vi lova. En annan elev tog med problemet hem till sin bror som läser andra året på ett matematikprogram i Lund, och hans lösning var med till skolan dagen efter.

Även vid lösningen av detta problem var det en fördel att ha praktiska erfarenheter av getuppfödning, en praktisk lösning var att man hägnade in halva hagen med ett långt rep och lät geten gå där och beta. Frågor vi ställde oss är varför man hade både hage och rep, och om man verkligen kan vara säker på att geten inte gnager av repet. Att en get bunden i ett rep vid ett staket betar av ett halvcirkelformat område var självklart.

Geten-i-hagen-problemet blev verkligen till ett lärandetillfälle, för eleverna men också i rikt mått för deras lärare, och det är vi tacksamma för. Vi lär oss lika mycket som er i detta arbete med medveten matematik!

Medveten matematik

Jag vill skriva och berätta om något spännande som jag får vara med om. Tillsammans med min kollega matematiklärare Catarina och Sätoftaskolans alla elever i åk 9 ägnar vi åt oss vad vi kallar medveten matematik.

Begreppet kommer från Tommy Lucassis bedömningsmaterial, som han håller på att skriva. Han, liksom vi ,vill hitta praktiska metoder för att tillämpa formativ bedömning i klassrummet. När vi planerade för läsåret var det följande vi ville utveckla/uppnå:

· tydligare mål och bättre resultat

· att eleverna ska kunna ta större ansvar för sitt lärande

· mer problemlösning, mindre metodtraggel

· självbedömning, kamratbedömning istället för prov

· undervisning som siktar mot alla fem förmågor i matematik

Vi har ca 60 elever delade i två klasser, som är större än vi brukar ha, men istället är vi alltid två lärare (lärare + specialpedagog) och alla elever är med. Vi räknar med att kunna/hinna ge alla det stöd och de utmaningar de har behov av.

Vi har valt att behålla de olika avsnitten (tal, geometri, procent, algebra och funktioner) och använder fortfarande delar av vårt läromedel Matte Direkt.

Vi har nu arbetat oss igenom avsnittet Tal på det nya medvetna matematik-viset och några av våra gemensamma reflektioner (från oss lärare och eleverna)

· Detta är hur roligt som helst...och jobbigt...och ett lyft för de allra flesta eleverna.

· Varför har vi inte alltid jobbat så här?

· Kan vi inte bara ha en vanlig lektion när vi jobbar i matteboken?

· Nu börjar vi bli säkra på vad de olika förmågorna innebär.

· Det är svårt att säga om en lösning ligger på C- eller A-nivå.

Varje avsnitt börjar med en problemlösning, vi försöker hitta rika problem som inbjuder till att hitta många olika slags lösningar. I Talavsnittet var problemet det klassiska vika-papper. Hur många gånger kan man vika ett A4-papper och hur många lager blir det när man viker det ett visst antal gånger. Vi vek papper, tänkte och räknade, tittade på Mythbusters när de vek ett papper stort som en fotbollsplan med hjälp av truck och ångvält.

Vi lärare visade sedan lösningar som var bedömda (metoder) på tre nivåer E, C och A och vi diskuterade vad som skiljde dem åt. Eleverna fick sedan i grupper ta fram lösningar på de olika nivåerna och dem satte vi upp i vår väggmatris i klassrummet.

Flera elever kom på att lösningen på en mer generell nivå med potensform var enklare att förstå och mindre jobbig än den "enklare" där man multiplicerar med två hundra gånger.

Först hade vi tänkt visa flera förmågor men det blev mycket rörigt, så vi valde en. Eleverna bedömde sin egen lösning i en matris som de satte in tillsammans med lösningen i sin mattepärm.

Nu följde ett par veckor med korta genomgångar av de nya momenten för åk 9 och arbete med uppgifter i matteboken och på valda arbetsblad:

· tal i potensform (tiopotenser, grundpotensform)

· kvadrattal och kvadratrötter

· Pythagoras sats

· beräkningar med negativa tal

Vi hade så roligt när vi skulle introducera Pythagoras sats, dels med färgstarka berättelser om den gode Pythagoras liv, men också med den klassiska filmen på Youtube med Galenskaparna som mattelärarna som dansar och rycks med av Pythagoras sats.

Åk 9-elever är tydligen för unga för att veta vilka Galenskaparna är (?!) men när de hade tappat hakorna för att de var så töntiga blev det snart en korridorsgnolare "a-två-plus-b-två- e- c-två-yeeah". Eleverna som hade saknat sin mattebok fick nu jobba med uppgifter där, det är viktigt att inte "slänga allt gammalt överbord" är vår erfarenhet.

Nu var det dags för en ny problemlösning, vi valde ett problem där eleverna hade nytta av den återkoppling de fick på första problemlösningen. Nu arbetade vi med det klassiska problemet med den uttråkade kungen som utlyste en tävling i riket för att hitta något roligt och mannen som uppfann schackspelet och ville ha betalt i riskorn. Ett för den första rutan, två på nästa, fyra på den följande rutan och så vidare. Nu var det fler elever som direkt använde potensform och som kom långt i problemlösningen.

Parallellt med detta deltar vi i (och handleder) kommunens Mattelyft där vi arbetar med modulen Problemlösning, något vi har stor nytta av (se separat inlägg inom kort). Därifrån har vi hämtat fler problem, det har blivit något av en tradition att syssla med problemlösning sista lektionen i veckan (sist på fredagen) och vi har snöat in på problem med djur och hagar ;-)

Fyra kaniner äter sammanlagt tre morötter om dagen. Hur många morötter äter tre kaniner på fyra dagar? Alla kaniner äter lika mycket varje dag.

Här syns en lösning där eleven har resonerat sig fram med hjälp av logiska steg till svaret, och förstärkt med bilder.

Här är redovisningen till en mer konkret lösning.

Gjord av en elev med stor erfarenhet av kaniner även i levande livet. Det är en fördel ibland, kom vi fram till.

Efter problemlösningen med risgrynen på schackbrädet fick eleverna se över sin dokumentation. Vi hade också gjort en diagnos där de kunde visa sina kunskaper om de nya momenten. Vi erbjöd uppgifter av olika svårighetsnivå och sedan satte vi oss enskilt 5-10 min med varje elev, vi var ju två lärare och hann nästan alla på två lektioner, och nu hade eleverna fått göra en självbedömning av sitt arbete under avsnittet mot kunskapskraven som vi samtalade kring och gjorde en gemensam bedömning där vi tog in allt vi tyckte eleven visat. Om något var oklart ställdes en kort fråga som eleven besvarade. Vi använder oss av HEJA från Infomentor, betydligt tydligare formuleringar än ursprungstexterna från Skolverket och några sammanfattande tankar är att vi var rörande överens med eleverna om vilken nivå deras kunskaper ligger på och att detta var den bredaste bedömning vi någonsin gjort av eller tillsammans med elever. Vi hade korta bra samtal om var de befinner sig och eleverna frågade själva vad de skulle göra för att förflytta sig till nästa nivå. Formativare kan väl inte bedömning göras? Och återkopplingen var direkt användbar.

Nu har vi gett oss in på avsnittet geometri. Det kommer mer om det här på bloggen inom kort!

En av två glada lärare, här visar Catarina rubrikerna till väggmatrisen (kunskapskraven).

Matematikbiennette i Malmö 9 mars 2013, pass 2

Andra passet jag lyssnade på var väldigt viktigt, jag har gått och funderat på det en hel del.
Det var Lena Andersson som även hon arbetar som lärarutbildare på Malmö högskola. Hennes pass hade rubriken
Räknesätt och samband
Det vanligaste är att man i ettan introducerar addition för att sedan fortsätta med subtraktion och betydligt senare multiplikation och sist division. Detta tyder på att elevernas utveckling av räknesätt skulle vara linjär. Redan 1850 tog den tyske matematikern Grube upp att man borde låta barnen arbeta med alla räknesätt samtidigt istället för att splittra upp skolans matematikundervisning i strikt åtskilda räknesätt.
Barn har begrepp för alla fyra räknesätten och deras vardag är fylld av situationer som vi kan använda för att arbeta med detta. Lena visade hur man rent konkret kan arbeta för att visa på innebörden och sambandet mellan de fyra räknesätten.
I en förskoleklass fick barnen tillverka akvariefiskar i papper, rita, färglägga och klippa ut. Dessa flyttade in i ett målat akvarium på väggen i klassrummet. Eleverna hade också egna akvarium och fiskar att jobba med. Läraren arrangerade sedan olika händelser. En morgon när barnen kom såg det ut så här i akvariet, två fiskar ligger och guppar uppe vid ytan. Stor sorg, men också läge för matematik. 6-2 men också 4+2=6

Fler situationer beskrivs i dokumentationen

Samband mellan räknesätten:
Addition och subtraktion är varandras omvända räknesätt.
Multiplikation och division är varandras omvända räknesätt.
Multiplikation är en upprepad addition.
Division är en upprepad subtraktion.
I dokumentationen finns en ifylld cirkel med räkneexempel om det blev rörigt.

Piaget ansåg att addition och subtraktion borde behandlas samtidigt eftersom det är omöjligt att förstå att 5+2=7 om man inte också förstår att 7-2=5

Gudrun Malmer sa att innan symboler och formell redovisning presenterats existerar inte några olika räknesätt för barn, de löser problem med högst varierande strategier.

Terezinha Nunez, Peter Bryan och Anne Watson presenterade 2009 sin forskning i avhandlingen Key understandings in mathematics Learning. Den erbjuder nya rön om matematiklärande både utifrån psykologiska och konkreta perspektiv. Du kan ladda ner olika former av sammanfattningar här.

Lena tog i sitt seminarium upp att Nunez, Bryan och Watson kommit fram till att "den  linjära synen på utveckling, enligt vilken förståelse av addition föregår förståelse av multiplikation, finner inte stöd i forskningen."

Children do not know arithmetic fact; they count in different ways depending on whether the problems they are solving involve the ideas of addition, subtraction, multiplication or division.
Adding, taking away are children familiar with, but surprising to many people children also know quite about multiplicative reasoning and sharing when they start school.

Det är inte svårt, men det handlar om hur vi uppmärksammar och fokuserar i vår undervisning. Äg din undervisning! Var inte låst av hur ditt läromedel delar in saker utan utgå från berättelser och bilder och barnens tankar och idéer. Låt dig överraskas av vad de kan!

Gå in i dokumentationen och se alla exempel på räknesituationer som kom upp med akvarierna.
Lena tog också upp hur viktigt det är att barnen får förstå räknesätten, arbeta med olika representationsformer av talen och att man bör visa multiplikation som figurer, rutnät.

Mina reflektioner
Jag ser ofta att eleverna inte självklart och med lätthet använder sambanden mellan räknesätten, både addition/subtraktion och multiplikation/division. Detta blir väldigt tydligt när eleverna ska lösa ekvationer av typen x + 11 = 19. Om eleven är säker på sambanden mellan addition och subtraktion subtraherar han/hon enkelt 19 med 11 och får då fram att x måste vara 8. Samma svårighet när eleven kommer fram till att x dividerat med 5 är lika med 20. Elever som får svårigheter med matematiken har ofta svårt att "se" hur man ska göra vid division. "Hur många gånger går 5 i 25?"

Kan detta bero på att de arbetat alltför mycket med automatisering av tabeller, både lilla plus, stora minus och multiplikationstabellen och att de inte riktigt förstått alla räknesätten?
Lena tog upp att tabeller bygger på idéer, det är inte lönt att lära sig dem utantill om man inte har förstått idén. När du tränar multiplikationstabeller med dina elever, försöka då hitta metoder (arbetsblad, appar, datorprogram) där eleverna kan se systemet, tex i form av ett rutnät. Där kan eleverna se talen i 7:ans tabell, att de ökar med 7 för varje rad etc.

Lena tog också upp de två formerna av division (innehålls- och delningsdivision) som längre tillbaka var två olika räknesätt! Vi börjar med (lika)delningsdivision men sedan blir det innehållsdivisionen som följer eleverna vidare, den upprepade subtraktionen "Hur många gånger går 6 i 42?" Är detta förvirrande för eleverna?

Hur kan vi arbeta med förståelse som mål?