Geten i hagen

...andra avsnittet i vår medvetna matematik är nu geometri. Eftersom vi i åk 9 fokuserar på volymgeometri valde vi ett inledande problem som kräver kunskaper om area.

En get är bunden mitt på en sida av en kvadratisk hage med kanten 50 m.
Hur långt rep ska geten ha för att den ska kunna beta av halva hagens yta?


Eleverna arbetade först enskilt, sedan i par och dagen efter skulle vi ha en helklassdiskussion om olika lösningar. När eleverna arbetade med problemet upptäckte vi att det var betydligt svårare än någon av oss hade trott. Vi lärare gjorde några olika lösningar, och tog problemet med oss till kommunens samtliga mattelärare åk 7-9 som hade mattelyftsträff, där fick vi ytterligare några förslag till lösningar.
Här är ett antal av de olika lösningar vi lyfte i helklassdiskussionen:

Det var här problemet blev svårt. Om man "räknar baklänges" får man en replängd (radien i halvcirkeln) n på 28,2 m - det betyder att geten skulle behöva beta utanför hagen, se de röda streckade markeringarna. Sådana kan man oftast inte räkna ut i åk 9 :(

 

Här tolkade eleven problemet som att geten åt halva ytan (och lite till) och använde Pythagoras sats för att räkna ut repets längd.

En ung dam i en klass blev "lite" frustrerad över att ingen av oss lärare förstod hur hon tänkte när hon löste problemet, men efter en natt och lite mer förklaringar (och kanske mindre ludd i lärarörat) så kom vi fram till att Christel och den unga damen hade löst problemet på ett liknande sätt, nämligen genom att "titta"/räkna efter hur stor del av halvcirkeln som går nedanför mitten, och jämföra den med de bitar som "hamnar utanför hagen". Det kan också göras rent grafiskt med hjälp av en skalenlig ritning där man med hjälp av passare ritar ut en halvcirkel och räknar rutor tills hälften är täckta. Ibland är den "enklaste" lösningen den mest tydliga och den man löser problemet med:)

Det talades en hel del om getter och hagar i Höör denna kväll, det kan vi lova. En annan elev tog med problemet hem till sin bror som läser andra året på ett matematikprogram i Lund, och hans lösning var med till skolan dagen efter.

Även vid lösningen av detta problem var det en fördel att ha praktiska erfarenheter av getuppfödning, en praktisk lösning var att man hägnade in halva hagen med ett långt rep och lät geten gå där och beta. Frågor vi ställde oss är varför man hade både hage och rep, och om man verkligen kan vara säker på att geten inte gnager av repet. Att en get bunden i ett rep vid ett staket betar av ett halvcirkelformat område var självklart.

Geten-i-hagen-problemet blev verkligen till ett lärandetillfälle, för eleverna men också i rikt mått för deras lärare, och det är vi tacksamma för. Vi lär oss lika mycket som er i detta arbete med medveten matematik!

Medveten matematik

Jag vill skriva och berätta om något spännande som jag får vara med om. Tillsammans med min kollega matematiklärare Catarina och Sätoftaskolans alla elever i åk 9 ägnar vi åt oss vad vi kallar medveten matematik.

Begreppet kommer från Tommy Lucassis bedömningsmaterial, som han håller på att skriva. Han, liksom vi ,vill hitta praktiska metoder för att tillämpa formativ bedömning i klassrummet. När vi planerade för läsåret var det följande vi ville utveckla/uppnå:

· tydligare mål och bättre resultat

· att eleverna ska kunna ta större ansvar för sitt lärande

· mer problemlösning, mindre metodtraggel

· självbedömning, kamratbedömning istället för prov

· undervisning som siktar mot alla fem förmågor i matematik

Vi har ca 60 elever delade i två klasser, som är större än vi brukar ha, men istället är vi alltid två lärare (lärare + specialpedagog) och alla elever är med. Vi räknar med att kunna/hinna ge alla det stöd och de utmaningar de har behov av.

Vi har valt att behålla de olika avsnitten (tal, geometri, procent, algebra och funktioner) och använder fortfarande delar av vårt läromedel Matte Direkt.

Vi har nu arbetat oss igenom avsnittet Tal på det nya medvetna matematik-viset och några av våra gemensamma reflektioner (från oss lärare och eleverna)

· Detta är hur roligt som helst...och jobbigt...och ett lyft för de allra flesta eleverna.

· Varför har vi inte alltid jobbat så här?

· Kan vi inte bara ha en vanlig lektion när vi jobbar i matteboken?

· Nu börjar vi bli säkra på vad de olika förmågorna innebär.

· Det är svårt att säga om en lösning ligger på C- eller A-nivå.

Varje avsnitt börjar med en problemlösning, vi försöker hitta rika problem som inbjuder till att hitta många olika slags lösningar. I Talavsnittet var problemet det klassiska vika-papper. Hur många gånger kan man vika ett A4-papper och hur många lager blir det när man viker det ett visst antal gånger. Vi vek papper, tänkte och räknade, tittade på Mythbusters när de vek ett papper stort som en fotbollsplan med hjälp av truck och ångvält.

Vi lärare visade sedan lösningar som var bedömda (metoder) på tre nivåer E, C och A och vi diskuterade vad som skiljde dem åt. Eleverna fick sedan i grupper ta fram lösningar på de olika nivåerna och dem satte vi upp i vår väggmatris i klassrummet.

Flera elever kom på att lösningen på en mer generell nivå med potensform var enklare att förstå och mindre jobbig än den "enklare" där man multiplicerar med två hundra gånger.

Först hade vi tänkt visa flera förmågor men det blev mycket rörigt, så vi valde en. Eleverna bedömde sin egen lösning i en matris som de satte in tillsammans med lösningen i sin mattepärm.

Nu följde ett par veckor med korta genomgångar av de nya momenten för åk 9 och arbete med uppgifter i matteboken och på valda arbetsblad:

· tal i potensform (tiopotenser, grundpotensform)

· kvadrattal och kvadratrötter

· Pythagoras sats

· beräkningar med negativa tal

Vi hade så roligt när vi skulle introducera Pythagoras sats, dels med färgstarka berättelser om den gode Pythagoras liv, men också med den klassiska filmen på Youtube med Galenskaparna som mattelärarna som dansar och rycks med av Pythagoras sats.

Åk 9-elever är tydligen för unga för att veta vilka Galenskaparna är (?!) men när de hade tappat hakorna för att de var så töntiga blev det snart en korridorsgnolare "a-två-plus-b-två- e- c-två-yeeah". Eleverna som hade saknat sin mattebok fick nu jobba med uppgifter där, det är viktigt att inte "slänga allt gammalt överbord" är vår erfarenhet.

Nu var det dags för en ny problemlösning, vi valde ett problem där eleverna hade nytta av den återkoppling de fick på första problemlösningen. Nu arbetade vi med det klassiska problemet med den uttråkade kungen som utlyste en tävling i riket för att hitta något roligt och mannen som uppfann schackspelet och ville ha betalt i riskorn. Ett för den första rutan, två på nästa, fyra på den följande rutan och så vidare. Nu var det fler elever som direkt använde potensform och som kom långt i problemlösningen.

Parallellt med detta deltar vi i (och handleder) kommunens Mattelyft där vi arbetar med modulen Problemlösning, något vi har stor nytta av (se separat inlägg inom kort). Därifrån har vi hämtat fler problem, det har blivit något av en tradition att syssla med problemlösning sista lektionen i veckan (sist på fredagen) och vi har snöat in på problem med djur och hagar ;-)

Fyra kaniner äter sammanlagt tre morötter om dagen. Hur många morötter äter tre kaniner på fyra dagar? Alla kaniner äter lika mycket varje dag.

Här syns en lösning där eleven har resonerat sig fram med hjälp av logiska steg till svaret, och förstärkt med bilder.

Här är redovisningen till en mer konkret lösning.

Gjord av en elev med stor erfarenhet av kaniner även i levande livet. Det är en fördel ibland, kom vi fram till.

Efter problemlösningen med risgrynen på schackbrädet fick eleverna se över sin dokumentation. Vi hade också gjort en diagnos där de kunde visa sina kunskaper om de nya momenten. Vi erbjöd uppgifter av olika svårighetsnivå och sedan satte vi oss enskilt 5-10 min med varje elev, vi var ju två lärare och hann nästan alla på två lektioner, och nu hade eleverna fått göra en självbedömning av sitt arbete under avsnittet mot kunskapskraven som vi samtalade kring och gjorde en gemensam bedömning där vi tog in allt vi tyckte eleven visat. Om något var oklart ställdes en kort fråga som eleven besvarade. Vi använder oss av HEJA från Infomentor, betydligt tydligare formuleringar än ursprungstexterna från Skolverket och några sammanfattande tankar är att vi var rörande överens med eleverna om vilken nivå deras kunskaper ligger på och att detta var den bredaste bedömning vi någonsin gjort av eller tillsammans med elever. Vi hade korta bra samtal om var de befinner sig och eleverna frågade själva vad de skulle göra för att förflytta sig till nästa nivå. Formativare kan väl inte bedömning göras? Och återkopplingen var direkt användbar.

Nu har vi gett oss in på avsnittet geometri. Det kommer mer om det här på bloggen inom kort!

En av två glada lärare, här visar Catarina rubrikerna till väggmatrisen (kunskapskraven).