Appar och program om tal

Att kunna dela upp tal är viktigt.
Att lära sig det genom roliga spel och appar är smart och effektivt (omedelbar feedback, tävlingsinstinkt...)!


Math Doodles (22 kr Appstore) har två bra spel för just detta: Sum Stacker och Connect Sums

Super 7 är ett roligt beroendeframkallande spel där man ska bilda talet 7. (Appstore)

Math lines är ett enkelt spel som dina elever kan arbeta med vid datorn.

Math Zombie tränar också uppdelning av tal ( 7 kr Appstore)







Positionssystemet

 

 



Ett roligt sätt att jobba med positionssystemet är Math Bugs (7 kr Appstore)

Number Pieces basic är ett digitalt multibas-redskap (Gratis Appstore)







Den bästa sidan att hitta bra appar (alla ämnen) är SKOLAPPAR


Geten i hagen

...andra avsnittet i vår medvetna matematik är nu geometri. Eftersom vi i åk 9 fokuserar på volymgeometri valde vi ett inledande problem som kräver kunskaper om area.

En get är bunden mitt på en sida av en kvadratisk hage med kanten 50 m.
Hur långt rep ska geten ha för att den ska kunna beta av halva hagens yta?


Eleverna arbetade först enskilt, sedan i par och dagen efter skulle vi ha en helklassdiskussion om olika lösningar. När eleverna arbetade med problemet upptäckte vi att det var betydligt svårare än någon av oss hade trott. Vi lärare gjorde några olika lösningar, och tog problemet med oss till kommunens samtliga mattelärare åk 7-9 som hade mattelyftsträff, där fick vi ytterligare några förslag till lösningar.
Här är ett antal av de olika lösningar vi lyfte i helklassdiskussionen:

Det var här problemet blev svårt. Om man "räknar baklänges" får man en replängd (radien i halvcirkeln) n på 28,2 m - det betyder att geten skulle behöva beta utanför hagen, se de röda streckade markeringarna. Sådana kan man oftast inte räkna ut i åk 9 :(

 

Här tolkade eleven problemet som att geten åt halva ytan (och lite till) och använde Pythagoras sats för att räkna ut repets längd.

En ung dam i en klass blev "lite" frustrerad över att ingen av oss lärare förstod hur hon tänkte när hon löste problemet, men efter en natt och lite mer förklaringar (och kanske mindre ludd i lärarörat) så kom vi fram till att Christel och den unga damen hade löst problemet på ett liknande sätt, nämligen genom att "titta"/räkna efter hur stor del av halvcirkeln som går nedanför mitten, och jämföra den med de bitar som "hamnar utanför hagen". Det kan också göras rent grafiskt med hjälp av en skalenlig ritning där man med hjälp av passare ritar ut en halvcirkel och räknar rutor tills hälften är täckta. Ibland är den "enklaste" lösningen den mest tydliga och den man löser problemet med:)

Det talades en hel del om getter och hagar i Höör denna kväll, det kan vi lova. En annan elev tog med problemet hem till sin bror som läser andra året på ett matematikprogram i Lund, och hans lösning var med till skolan dagen efter.

Även vid lösningen av detta problem var det en fördel att ha praktiska erfarenheter av getuppfödning, en praktisk lösning var att man hägnade in halva hagen med ett långt rep och lät geten gå där och beta. Frågor vi ställde oss är varför man hade både hage och rep, och om man verkligen kan vara säker på att geten inte gnager av repet. Att en get bunden i ett rep vid ett staket betar av ett halvcirkelformat område var självklart.

Geten-i-hagen-problemet blev verkligen till ett lärandetillfälle, för eleverna men också i rikt mått för deras lärare, och det är vi tacksamma för. Vi lär oss lika mycket som er i detta arbete med medveten matematik!

Medveten matematik

Jag vill skriva och berätta om något spännande som jag får vara med om. Tillsammans med min kollega matematiklärare Catarina och Sätoftaskolans alla elever i åk 9 ägnar vi åt oss vad vi kallar medveten matematik.

Begreppet kommer från Tommy Lucassis bedömningsmaterial, som han håller på att skriva. Han, liksom vi ,vill hitta praktiska metoder för att tillämpa formativ bedömning i klassrummet. När vi planerade för läsåret var det följande vi ville utveckla/uppnå:

· tydligare mål och bättre resultat

· att eleverna ska kunna ta större ansvar för sitt lärande

· mer problemlösning, mindre metodtraggel

· självbedömning, kamratbedömning istället för prov

· undervisning som siktar mot alla fem förmågor i matematik

Vi har ca 60 elever delade i två klasser, som är större än vi brukar ha, men istället är vi alltid två lärare (lärare + specialpedagog) och alla elever är med. Vi räknar med att kunna/hinna ge alla det stöd och de utmaningar de har behov av.

Vi har valt att behålla de olika avsnitten (tal, geometri, procent, algebra och funktioner) och använder fortfarande delar av vårt läromedel Matte Direkt.

Vi har nu arbetat oss igenom avsnittet Tal på det nya medvetna matematik-viset och några av våra gemensamma reflektioner (från oss lärare och eleverna)

· Detta är hur roligt som helst...och jobbigt...och ett lyft för de allra flesta eleverna.

· Varför har vi inte alltid jobbat så här?

· Kan vi inte bara ha en vanlig lektion när vi jobbar i matteboken?

· Nu börjar vi bli säkra på vad de olika förmågorna innebär.

· Det är svårt att säga om en lösning ligger på C- eller A-nivå.

Varje avsnitt börjar med en problemlösning, vi försöker hitta rika problem som inbjuder till att hitta många olika slags lösningar. I Talavsnittet var problemet det klassiska vika-papper. Hur många gånger kan man vika ett A4-papper och hur många lager blir det när man viker det ett visst antal gånger. Vi vek papper, tänkte och räknade, tittade på Mythbusters när de vek ett papper stort som en fotbollsplan med hjälp av truck och ångvält.

Vi lärare visade sedan lösningar som var bedömda (metoder) på tre nivåer E, C och A och vi diskuterade vad som skiljde dem åt. Eleverna fick sedan i grupper ta fram lösningar på de olika nivåerna och dem satte vi upp i vår väggmatris i klassrummet.

Flera elever kom på att lösningen på en mer generell nivå med potensform var enklare att förstå och mindre jobbig än den "enklare" där man multiplicerar med två hundra gånger.

Först hade vi tänkt visa flera förmågor men det blev mycket rörigt, så vi valde en. Eleverna bedömde sin egen lösning i en matris som de satte in tillsammans med lösningen i sin mattepärm.

Nu följde ett par veckor med korta genomgångar av de nya momenten för åk 9 och arbete med uppgifter i matteboken och på valda arbetsblad:

· tal i potensform (tiopotenser, grundpotensform)

· kvadrattal och kvadratrötter

· Pythagoras sats

· beräkningar med negativa tal

Vi hade så roligt när vi skulle introducera Pythagoras sats, dels med färgstarka berättelser om den gode Pythagoras liv, men också med den klassiska filmen på Youtube med Galenskaparna som mattelärarna som dansar och rycks med av Pythagoras sats.

Åk 9-elever är tydligen för unga för att veta vilka Galenskaparna är (?!) men när de hade tappat hakorna för att de var så töntiga blev det snart en korridorsgnolare "a-två-plus-b-två- e- c-två-yeeah". Eleverna som hade saknat sin mattebok fick nu jobba med uppgifter där, det är viktigt att inte "slänga allt gammalt överbord" är vår erfarenhet.

Nu var det dags för en ny problemlösning, vi valde ett problem där eleverna hade nytta av den återkoppling de fick på första problemlösningen. Nu arbetade vi med det klassiska problemet med den uttråkade kungen som utlyste en tävling i riket för att hitta något roligt och mannen som uppfann schackspelet och ville ha betalt i riskorn. Ett för den första rutan, två på nästa, fyra på den följande rutan och så vidare. Nu var det fler elever som direkt använde potensform och som kom långt i problemlösningen.

Parallellt med detta deltar vi i (och handleder) kommunens Mattelyft där vi arbetar med modulen Problemlösning, något vi har stor nytta av (se separat inlägg inom kort). Därifrån har vi hämtat fler problem, det har blivit något av en tradition att syssla med problemlösning sista lektionen i veckan (sist på fredagen) och vi har snöat in på problem med djur och hagar ;-)

Fyra kaniner äter sammanlagt tre morötter om dagen. Hur många morötter äter tre kaniner på fyra dagar? Alla kaniner äter lika mycket varje dag.

Här syns en lösning där eleven har resonerat sig fram med hjälp av logiska steg till svaret, och förstärkt med bilder.

Här är redovisningen till en mer konkret lösning.

Gjord av en elev med stor erfarenhet av kaniner även i levande livet. Det är en fördel ibland, kom vi fram till.

Efter problemlösningen med risgrynen på schackbrädet fick eleverna se över sin dokumentation. Vi hade också gjort en diagnos där de kunde visa sina kunskaper om de nya momenten. Vi erbjöd uppgifter av olika svårighetsnivå och sedan satte vi oss enskilt 5-10 min med varje elev, vi var ju två lärare och hann nästan alla på två lektioner, och nu hade eleverna fått göra en självbedömning av sitt arbete under avsnittet mot kunskapskraven som vi samtalade kring och gjorde en gemensam bedömning där vi tog in allt vi tyckte eleven visat. Om något var oklart ställdes en kort fråga som eleven besvarade. Vi använder oss av HEJA från Infomentor, betydligt tydligare formuleringar än ursprungstexterna från Skolverket och några sammanfattande tankar är att vi var rörande överens med eleverna om vilken nivå deras kunskaper ligger på och att detta var den bredaste bedömning vi någonsin gjort av eller tillsammans med elever. Vi hade korta bra samtal om var de befinner sig och eleverna frågade själva vad de skulle göra för att förflytta sig till nästa nivå. Formativare kan väl inte bedömning göras? Och återkopplingen var direkt användbar.

Nu har vi gett oss in på avsnittet geometri. Det kommer mer om det här på bloggen inom kort!

En av två glada lärare, här visar Catarina rubrikerna till väggmatrisen (kunskapskraven).

Matematikbiennette i Malmö 9 mars 2013, pass 2

Andra passet jag lyssnade på var väldigt viktigt, jag har gått och funderat på det en hel del.
Det var Lena Andersson som även hon arbetar som lärarutbildare på Malmö högskola. Hennes pass hade rubriken
Räknesätt och samband
Det vanligaste är att man i ettan introducerar addition för att sedan fortsätta med subtraktion och betydligt senare multiplikation och sist division. Detta tyder på att elevernas utveckling av räknesätt skulle vara linjär. Redan 1850 tog den tyske matematikern Grube upp att man borde låta barnen arbeta med alla räknesätt samtidigt istället för att splittra upp skolans matematikundervisning i strikt åtskilda räknesätt.
Barn har begrepp för alla fyra räknesätten och deras vardag är fylld av situationer som vi kan använda för att arbeta med detta. Lena visade hur man rent konkret kan arbeta för att visa på innebörden och sambandet mellan de fyra räknesätten.
I en förskoleklass fick barnen tillverka akvariefiskar i papper, rita, färglägga och klippa ut. Dessa flyttade in i ett målat akvarium på väggen i klassrummet. Eleverna hade också egna akvarium och fiskar att jobba med. Läraren arrangerade sedan olika händelser. En morgon när barnen kom såg det ut så här i akvariet, två fiskar ligger och guppar uppe vid ytan. Stor sorg, men också läge för matematik. 6-2 men också 4+2=6

Fler situationer beskrivs i dokumentationen

Samband mellan räknesätten:
Addition och subtraktion är varandras omvända räknesätt.
Multiplikation och division är varandras omvända räknesätt.
Multiplikation är en upprepad addition.
Division är en upprepad subtraktion.
I dokumentationen finns en ifylld cirkel med räkneexempel om det blev rörigt.

Piaget ansåg att addition och subtraktion borde behandlas samtidigt eftersom det är omöjligt att förstå att 5+2=7 om man inte också förstår att 7-2=5

Gudrun Malmer sa att innan symboler och formell redovisning presenterats existerar inte några olika räknesätt för barn, de löser problem med högst varierande strategier.

Terezinha Nunez, Peter Bryan och Anne Watson presenterade 2009 sin forskning i avhandlingen Key understandings in mathematics Learning. Den erbjuder nya rön om matematiklärande både utifrån psykologiska och konkreta perspektiv. Du kan ladda ner olika former av sammanfattningar här.

Lena tog i sitt seminarium upp att Nunez, Bryan och Watson kommit fram till att "den  linjära synen på utveckling, enligt vilken förståelse av addition föregår förståelse av multiplikation, finner inte stöd i forskningen."

Children do not know arithmetic fact; they count in different ways depending on whether the problems they are solving involve the ideas of addition, subtraction, multiplication or division.
Adding, taking away are children familiar with, but surprising to many people children also know quite about multiplicative reasoning and sharing when they start school.

Det är inte svårt, men det handlar om hur vi uppmärksammar och fokuserar i vår undervisning. Äg din undervisning! Var inte låst av hur ditt läromedel delar in saker utan utgå från berättelser och bilder och barnens tankar och idéer. Låt dig överraskas av vad de kan!

Gå in i dokumentationen och se alla exempel på räknesituationer som kom upp med akvarierna.
Lena tog också upp hur viktigt det är att barnen får förstå räknesätten, arbeta med olika representationsformer av talen och att man bör visa multiplikation som figurer, rutnät.

Mina reflektioner
Jag ser ofta att eleverna inte självklart och med lätthet använder sambanden mellan räknesätten, både addition/subtraktion och multiplikation/division. Detta blir väldigt tydligt när eleverna ska lösa ekvationer av typen x + 11 = 19. Om eleven är säker på sambanden mellan addition och subtraktion subtraherar han/hon enkelt 19 med 11 och får då fram att x måste vara 8. Samma svårighet när eleven kommer fram till att x dividerat med 5 är lika med 20. Elever som får svårigheter med matematiken har ofta svårt att "se" hur man ska göra vid division. "Hur många gånger går 5 i 25?"

Kan detta bero på att de arbetat alltför mycket med automatisering av tabeller, både lilla plus, stora minus och multiplikationstabellen och att de inte riktigt förstått alla räknesätten?
Lena tog upp att tabeller bygger på idéer, det är inte lönt att lära sig dem utantill om man inte har förstått idén. När du tränar multiplikationstabeller med dina elever, försöka då hitta metoder (arbetsblad, appar, datorprogram) där eleverna kan se systemet, tex i form av ett rutnät. Där kan eleverna se talen i 7:ans tabell, att de ökar med 7 för varje rad etc.

Lena tog också upp de två formerna av division (innehålls- och delningsdivision) som längre tillbaka var två olika räknesätt! Vi börjar med (lika)delningsdivision men sedan blir det innehållsdivisionen som följer eleverna vidare, den upprepade subtraktionen "Hur många gånger går 6 i 42?" Är detta förvirrande för eleverna?

Hur kan vi arbeta med förståelse som mål?

Matematikbiennette i Malmö 9 mars 2013 pass 1

Här presenterar jag några av höjdpunkterna från matematikbiennetten i Malmö, inte lätt att välja för varje pass var mycket bra. Du kan ta del av dokumentationen och själv läsa om många andra pass också, det tänker jag göra! Jag har bestämt mig för att beskriva det viktigaste i passen och välja ut 3-4 bilder från föreläsarnas presentationer som jag hoppas ger dig något att tänka på, lust att läsa vidare och pröva i din undervisning. Och jag släpper ett pass i veckan- först ut kommer Marie!

Marie Jacobsson arbetar med lärarutbildning på Malmö högskola. Hennes pass hette
Upp till bevis! Det handlade om bevisföring och troliggöranden i matematik kopplat till vad styrdokumenten i förskolan, grundskolan och gymnasieskolan säger om att argumentera med matematik och kommunicera.

 

Ett matematiskt bevis är övertygande argumentation för att ett matematiskt resultat ska accepteras som sant.

Man kan bevisa med mycket mer än matematiska symboler, man kan använda ord (vanliga och matematiska), gestaltning eller beräkningar. Ett axiom är det självklara, det som inte behöver bevisas.
Marie tog upp flera bra exempel och konkretiserade.
Hur vet vi att vinkelsumman i en triangel är 180 grader?
- Rita många olika trianglar, mät vinklarna med gradskiva. Addera vinklarna och få (ungefär) 180 grader. Är detta ett bevis? Nej, eftersom vi inte visat för alla trianglar!
- Visa dynamiskt med ett rep. Detta är heller inget bevis eftersom vi inte vet om ökningen och minskningen är lika stora när eleverna flyttar sig.
- Riv av hörn i papperstrianglar och lägg bredvid varandra, bildar en rät linje = 180 grader. Inget bevis eftersom det inte kan göras med alla trianglar.
- Låt eleverna forma en triangel med ett rep. "Vandra" med en penna inuti triangeln och kom ihåg hur vridningen av pennan sker längs resan. Pennan kommer tillbaka och har vridits 180 grader. Detta är ett sk experimenterande, intuitivt bevis.
- "Vandra" med pennan utanför triangeln (se dokumentationen). Detta är ett bevis.
-Komplettera en triangel med en parallell linje till en av sidorna. Använd axiomet om suppleantvinklar och visa hur stor vinkelsumman är. Detta är ett bevis som bygger på axiom.

Hur kan vi bevisa Pythagoras sats?
Alla har vi väl försökt visa och bevisa Pythagoras sats. Marie visade 4 ganska vanliga sätt (se dokumentationen) men hon tipsade om en bok med 100 bevis. Jag har hittat något liknande på nätet, klicka här. Ett mycket övertygande bevis där alla sinnen får sitt finns i denna filmsnutt. 

Ytterst handlar matematiken om att upptäcka mönster och formulera generella samband (Gy 11)

Dokumentation av matematikbiennetten

Egen reflektion:
Många lärare tycker att just förmågorna uttrycksformer, resonemang, kommunikation och att argumentera med matematik är svårast att sätta fokus på och att bedöma. De kräver av oss att vi lyfter blicken från det som går att beskriva på en sida i matteboken och det som går att visa i en uppgift på ett matteprov.

Jag tyckte det var väldigt spännande att se hur pennan "vandrade" i triangeln som några biennaldeltagare format. Det var roligt att se de olika bevisen för Pythagoras sats, det utmanade mina tankar. Därför vill jag arbeta mer med begreppet bevisföring med mina elever. Det är en utmananing för hjärnan, precis vad eleverna behöver!

Hur arbetar du med resonemang, bevis, undersökande i din undervisning?

Fortbildning i Höör - välkommen!

Jag fick ett tips via en kommentar här på bloggen från Marcus Näslund om en bok som han har skrivit, lät spännande tyckte jag så jag letade upp den.
Boken heter Verklighetens kvadratrötter och du kan läsa om boken här. Marcus beskriver sig själv som matematikerstudent i Uppsala, men han har sitt ursprung i "Dalarnas skogar".
På tal om detta så läste jag igår en artikel om vilka människor som enligt en amerikansk undersökning har de bästa jobben. Grattis Marcus!

Både i förordet till Verklighetens kvadratrötter och i artikeln tar de upp att matematik är så mycket mer än ett tråkigt skolämne, det handlar om "the science of problem solving". Vi är beroende av matematik i vårt vardagsliv, det är spännande att förstå hur det fungerar med kontokortskrypteringar, räntekostnader, animerade filmer och mycket mer. I artikeln om matematiker framhölls också arbetsvillkoren för matematiker, de arbetar oftast inomhus, med tysta och giftfria jobb. Längst ner på listan fanns jobb som plattsättare och arbete på renhållningsbolag.
Ja ja smaken är ju som baken, delad, men det behövs slå ett slag för jobb som matematiker, det behövs inte minst duktiga, engagerade matematiklärare, om vi ska få skolans resultat att vända uppåt.
Så, du som är lärare, eller funderar på det, läs Marcus bok, och...
...keep the good work up!

Tänkte lägga upp en bild, men Blogger vill inte idag, klicka på länkarna ovan så hittar ni dem där.
/Christel