Geten i hagen

...andra avsnittet i vår medvetna matematik är nu geometri. Eftersom vi i åk 9 fokuserar på volymgeometri valde vi ett inledande problem som kräver kunskaper om area.

En get är bunden mitt på en sida av en kvadratisk hage med kanten 50 m.
Hur långt rep ska geten ha för att den ska kunna beta av halva hagens yta?


Eleverna arbetade först enskilt, sedan i par och dagen efter skulle vi ha en helklassdiskussion om olika lösningar. När eleverna arbetade med problemet upptäckte vi att det var betydligt svårare än någon av oss hade trott. Vi lärare gjorde några olika lösningar, och tog problemet med oss till kommunens samtliga mattelärare åk 7-9 som hade mattelyftsträff, där fick vi ytterligare några förslag till lösningar.
Här är ett antal av de olika lösningar vi lyfte i helklassdiskussionen:

Det var här problemet blev svårt. Om man "räknar baklänges" får man en replängd (radien i halvcirkeln) n på 28,2 m - det betyder att geten skulle behöva beta utanför hagen, se de röda streckade markeringarna. Sådana kan man oftast inte räkna ut i åk 9 :(

 

Här tolkade eleven problemet som att geten åt halva ytan (och lite till) och använde Pythagoras sats för att räkna ut repets längd.

En ung dam i en klass blev "lite" frustrerad över att ingen av oss lärare förstod hur hon tänkte när hon löste problemet, men efter en natt och lite mer förklaringar (och kanske mindre ludd i lärarörat) så kom vi fram till att Christel och den unga damen hade löst problemet på ett liknande sätt, nämligen genom att "titta"/räkna efter hur stor del av halvcirkeln som går nedanför mitten, och jämföra den med de bitar som "hamnar utanför hagen". Det kan också göras rent grafiskt med hjälp av en skalenlig ritning där man med hjälp av passare ritar ut en halvcirkel och räknar rutor tills hälften är täckta. Ibland är den "enklaste" lösningen den mest tydliga och den man löser problemet med:)

Det talades en hel del om getter och hagar i Höör denna kväll, det kan vi lova. En annan elev tog med problemet hem till sin bror som läser andra året på ett matematikprogram i Lund, och hans lösning var med till skolan dagen efter.

Även vid lösningen av detta problem var det en fördel att ha praktiska erfarenheter av getuppfödning, en praktisk lösning var att man hägnade in halva hagen med ett långt rep och lät geten gå där och beta. Frågor vi ställde oss är varför man hade både hage och rep, och om man verkligen kan vara säker på att geten inte gnager av repet. Att en get bunden i ett rep vid ett staket betar av ett halvcirkelformat område var självklart.

Geten-i-hagen-problemet blev verkligen till ett lärandetillfälle, för eleverna men också i rikt mått för deras lärare, och det är vi tacksamma för. Vi lär oss lika mycket som er i detta arbete med medveten matematik!

Medveten matematik

Jag vill skriva och berätta om något spännande som jag får vara med om. Tillsammans med min kollega matematiklärare Catarina och Sätoftaskolans alla elever i åk 9 ägnar vi åt oss vad vi kallar medveten matematik.

Begreppet kommer från Tommy Lucassis bedömningsmaterial, som han håller på att skriva. Han, liksom vi ,vill hitta praktiska metoder för att tillämpa formativ bedömning i klassrummet. När vi planerade för läsåret var det följande vi ville utveckla/uppnå:

· tydligare mål och bättre resultat

· att eleverna ska kunna ta större ansvar för sitt lärande

· mer problemlösning, mindre metodtraggel

· självbedömning, kamratbedömning istället för prov

· undervisning som siktar mot alla fem förmågor i matematik

Vi har ca 60 elever delade i två klasser, som är större än vi brukar ha, men istället är vi alltid två lärare (lärare + specialpedagog) och alla elever är med. Vi räknar med att kunna/hinna ge alla det stöd och de utmaningar de har behov av.

Vi har valt att behålla de olika avsnitten (tal, geometri, procent, algebra och funktioner) och använder fortfarande delar av vårt läromedel Matte Direkt.

Vi har nu arbetat oss igenom avsnittet Tal på det nya medvetna matematik-viset och några av våra gemensamma reflektioner (från oss lärare och eleverna)

· Detta är hur roligt som helst...och jobbigt...och ett lyft för de allra flesta eleverna.

· Varför har vi inte alltid jobbat så här?

· Kan vi inte bara ha en vanlig lektion när vi jobbar i matteboken?

· Nu börjar vi bli säkra på vad de olika förmågorna innebär.

· Det är svårt att säga om en lösning ligger på C- eller A-nivå.

Varje avsnitt börjar med en problemlösning, vi försöker hitta rika problem som inbjuder till att hitta många olika slags lösningar. I Talavsnittet var problemet det klassiska vika-papper. Hur många gånger kan man vika ett A4-papper och hur många lager blir det när man viker det ett visst antal gånger. Vi vek papper, tänkte och räknade, tittade på Mythbusters när de vek ett papper stort som en fotbollsplan med hjälp av truck och ångvält.

Vi lärare visade sedan lösningar som var bedömda (metoder) på tre nivåer E, C och A och vi diskuterade vad som skiljde dem åt. Eleverna fick sedan i grupper ta fram lösningar på de olika nivåerna och dem satte vi upp i vår väggmatris i klassrummet.

Flera elever kom på att lösningen på en mer generell nivå med potensform var enklare att förstå och mindre jobbig än den "enklare" där man multiplicerar med två hundra gånger.

Först hade vi tänkt visa flera förmågor men det blev mycket rörigt, så vi valde en. Eleverna bedömde sin egen lösning i en matris som de satte in tillsammans med lösningen i sin mattepärm.

Nu följde ett par veckor med korta genomgångar av de nya momenten för åk 9 och arbete med uppgifter i matteboken och på valda arbetsblad:

· tal i potensform (tiopotenser, grundpotensform)

· kvadrattal och kvadratrötter

· Pythagoras sats

· beräkningar med negativa tal

Vi hade så roligt när vi skulle introducera Pythagoras sats, dels med färgstarka berättelser om den gode Pythagoras liv, men också med den klassiska filmen på Youtube med Galenskaparna som mattelärarna som dansar och rycks med av Pythagoras sats.

Åk 9-elever är tydligen för unga för att veta vilka Galenskaparna är (?!) men när de hade tappat hakorna för att de var så töntiga blev det snart en korridorsgnolare "a-två-plus-b-två- e- c-två-yeeah". Eleverna som hade saknat sin mattebok fick nu jobba med uppgifter där, det är viktigt att inte "slänga allt gammalt överbord" är vår erfarenhet.

Nu var det dags för en ny problemlösning, vi valde ett problem där eleverna hade nytta av den återkoppling de fick på första problemlösningen. Nu arbetade vi med det klassiska problemet med den uttråkade kungen som utlyste en tävling i riket för att hitta något roligt och mannen som uppfann schackspelet och ville ha betalt i riskorn. Ett för den första rutan, två på nästa, fyra på den följande rutan och så vidare. Nu var det fler elever som direkt använde potensform och som kom långt i problemlösningen.

Parallellt med detta deltar vi i (och handleder) kommunens Mattelyft där vi arbetar med modulen Problemlösning, något vi har stor nytta av (se separat inlägg inom kort). Därifrån har vi hämtat fler problem, det har blivit något av en tradition att syssla med problemlösning sista lektionen i veckan (sist på fredagen) och vi har snöat in på problem med djur och hagar ;-)

Fyra kaniner äter sammanlagt tre morötter om dagen. Hur många morötter äter tre kaniner på fyra dagar? Alla kaniner äter lika mycket varje dag.

Här syns en lösning där eleven har resonerat sig fram med hjälp av logiska steg till svaret, och förstärkt med bilder.

Här är redovisningen till en mer konkret lösning.

Gjord av en elev med stor erfarenhet av kaniner även i levande livet. Det är en fördel ibland, kom vi fram till.

Efter problemlösningen med risgrynen på schackbrädet fick eleverna se över sin dokumentation. Vi hade också gjort en diagnos där de kunde visa sina kunskaper om de nya momenten. Vi erbjöd uppgifter av olika svårighetsnivå och sedan satte vi oss enskilt 5-10 min med varje elev, vi var ju två lärare och hann nästan alla på två lektioner, och nu hade eleverna fått göra en självbedömning av sitt arbete under avsnittet mot kunskapskraven som vi samtalade kring och gjorde en gemensam bedömning där vi tog in allt vi tyckte eleven visat. Om något var oklart ställdes en kort fråga som eleven besvarade. Vi använder oss av HEJA från Infomentor, betydligt tydligare formuleringar än ursprungstexterna från Skolverket och några sammanfattande tankar är att vi var rörande överens med eleverna om vilken nivå deras kunskaper ligger på och att detta var den bredaste bedömning vi någonsin gjort av eller tillsammans med elever. Vi hade korta bra samtal om var de befinner sig och eleverna frågade själva vad de skulle göra för att förflytta sig till nästa nivå. Formativare kan väl inte bedömning göras? Och återkopplingen var direkt användbar.

Nu har vi gett oss in på avsnittet geometri. Det kommer mer om det här på bloggen inom kort!

En av två glada lärare, här visar Catarina rubrikerna till väggmatrisen (kunskapskraven).

Lyckas med problemlösning - vem vill inte det?

Jag har tidigare skrivit om ett mycket intressant förlag här på bloggen, Askunge förlag, som nu har en hel del matematikläromedel som vi ska titta närmare på.

Förmågan att lösa problem är central i Lgr11 och hela ämnet matematik, och eleverna behöver undervisning om olika strategier för problemlösning.
Detta finns i "Att lyckas med problemlösning" som finns i två böcker, en för lågstadiet och en för mellanstadiet, men alla som vill undervisa om problemlösning har nytta av dem. Det finns ytterligare böcker med problem, i huvudböckerna finns läraranvisningar och kopieringsunderlag.

Tanken är att man beskriver olika metoder/strategier för problemlösning och så får eleverna använda dessa i problem för att bli säkra på dem. Till sist har eleverna en bred repertoar eller stor verktygslåda att använda vid sin problemlösning. Jättebra!

 

 

Strategier för problemlösning

George Polya

- föddes i Ungern

- var matematiker

- skrev om problemlösning

Problemlösning - en handbok i rationellt tänkande av George Polya

Det är dumt att svara på en fråga som man inte har förstått.

Det är ledsamt att arbeta mot ett mål man inte känner någon strävan efter att nå. Sådana dumma och ledsamma saker händer ofta, i och utanför skola och universitet, men en lärare måste försöka förhindra att sådant händer i hans klass.

Fas ett: Eleverna måste förstå problemet. Men de bör inte bara förstå det, de bör också känna en önskan att kunna lösa det. Om en elev inte riktigt förstår ett problem eller saknar intresse för det är det inte alltid hans fel. Problemet måste vara väl valt, inte för svårt och inte för lätt, naturligt och intressant.

Fas två: Det bästa en lärare kan göra för eleven är att på ett diskret sätt förse honom med en ljus idé. Att utarbeta en plan, att komma på idén till en lösning är inte lätt. Det krävs mycket för att lyckas, tidigare förvärvade kunskaper, sunda tankevanor, målmedveten koncentration och en sak till - en god portion tur.

Fas tre: Att genomföra sin plan är lättare än att komma på den. Nu handlar det mest om tålamod, att hålla fast vid sin plan. Om eleven verkligen har kommit fram till en plan kan läraren ta det relativt lugnt ett tag. Den stora risken är nu att eleven glömmer planen. Detta är ganska troligt om eleven har tagit emot planen utifrån och accepterat den på grund av lärarens auktoritet. Om han själv däremot har utarbetat den kommer han inte att glömma tankegången så lätt.

Fas fyra: Även ganska duktiga elever slår narmalt ihop sina böcker och börjar titta efter någonting annat så snart de kommit fram till och skrivit ner lösningen på ett problem. När de gör det missar de en lärorik fas i arbetet. Genom att se tillbaka på den fullbordade lösningen, genom att ompröva och undersöka resultatet igen och den väg som ledde dit, skulle de kunna befästa sina kunskaper och utveckla sin förmåga att lösa problem. Detr finns alltid något mer att undersöka och fundera över. Det finns alltid något kvar att göra.

Thinking blocks

Ibland kan det vara svårt att "se" vad som händer i problemlösningsuppgifter, detta enkla spel tränar att "se" vad det är som ska lösas i problem. Kräver mycket tankearbete!

Klicka här

Intressant förlag Askunge

Ibland hittar man något kul och spännande, det gjorde vi i Malmö på matematikutvecklarkonferensen. Där fanns det unga förlaget Askunge som satsar stort på läromedel i matematik.

Mest intressant tyckte jag (Christel) att det var med :

materialet Rädda ekvationerna. Genom att gömma tändstickor i askar och lägga upp likheter kan eleverna upptäcka och förstå principer för ekvationslösning.

En annan serie häften som planeras är tänkta att arbeta i det specialpedagogiska matematikarbetet: Framsteg i matematiken Ett läromedel som går fram i en långsam takt

På hemsidan bjuder förlaget på mycket skoj som du kan ha nytta av i klassrummet, ett exempel är den verktygslåda för problemlösare som du kan ladda ner och skriva ut.

Det finns också smakprov från boken Lös ett problem i veckan

Det är matematikern som är den nya tidens kung och vad är det som är så speciellt med 4, 8, 15,16, 23 och 42? Och så saknas det ett nobelpris...

En del av matematikundervisningen handlar om att jobba med ämnets status och meningsfullhet för eleverna. Som ett led i detta vill jag tipsa om några artiklar i Dagens Nyheter som tar upp matematikens roll i det moderna samhället.
Artikeln från januari 2010 beskriver hur matematiker ofta kan spåra naturvetenskapliga händelser.
- När matematiker väl har satt tänderna i ett problem så försöker de systematiskt lösa uppgiften. Deras egna frågeställningar väcker nästa fråga.
När fysiker hittar en märklig symmetri i en superkall kristall visste redan matematikerna att symmetrin fanns, det har de räknat ut.

I en artikel från april 2009 beskrivs hur mänskligt beteende kan tolkas i siffror och även hur det kan gå fel. Det fick det kinesiska mattegeniet David Li erfara, när han med sin matematiska formel för att räkna ut risker och värdeändringar på värdepapper, utpekades som "Mannen med den hemliga formeln som förstörde Wall Street". Tack vare hans formel ökade värdet på CDO:er (ett slags obligationer) från 275 miljarder till 4,7 biljoner dollar på sex år. Formeln beskrevs som enkel och vacker, men den var för bra för att vara sann. Bostadspriserna i USA föll, OCD-marknaden kollapsade och banker gick omkull. Många banker har duktiga matematiker anställda.

En spännande del av matematiken är mönster, talserier och samband. Da Vincikoden är kanske den mest kända, men i artikeln "Knäck koden" beskrivs bland annat sifferserien 4, 8, 15, 16, 23, 42...från TV-serien LOST. Hurley vann på lotteri med dessa nummer och sedan dyker de upp på olika ställen i serien. Kate Mosse (brittisk författare) har gjort succe med sina böcker "Labyrinten" och "Kryptan", i DaVincikodens anda.

I kursplanen i matematik står (och kommer alltid att stå) att vi ska arbeta med ämnets betydelse i historien, detta tas upp i en artikel. Anders Björner, professor i matematik beskriver att matematiken alltid har betytt mycket för de vetenskapliga upptäckterna i samhället, men att mattens ställning har stärkts de senare åren, mest för att områden inom matte har gjort annan utveckling möjlig.
Man kan inte i förväg exakt veta vilka resultat som kommer att bli betydelsefulla. Björner funderar på om ämnets medieskugga beror på att det saknas ett Nobelpris i matematik. Tur att det finns två andra internationella pris på Nobelnivå: Den internationella Fieldsmedaljen och det norska Abelpriset. Artikeln beskriver på ett intressant sätt hur man i moderna företag arbetar med matematik, bland annat på IBM, och man funderar på vad matematikerna och deras formler kommer att få att säga till om i framtiden.

Christel Jansson, matematikutvecklare i Höör

Matematikbienalen 2010

Matematikbienalen 2010

Jag, Anki har varit på matematikbienalen 2010. Jag listar här nere vilka föreläsningar/tips/idéer/aktiviteter jag var med om.

1. Matematikspel med Anna Gullberg och Volker Berthold. Vi fick under en liten stund prova på lite spel och idéer som dessa två hade med sig.

a) STEGEN

12	12
11	11
10	10
9	9
8	8
7	7
6	6
5	5
4	4
3	3
2	2
1	1

Du har följande spelplan som eleverna ritar av. Man spelar ca 2-3 elever i varje grupp. I de längre årskurserna använder man bara addition. Men i de högre eventuellt alla fyra räknesätten, men då är stegen mycket längre runt 50. Varje grupp får 3 tärningar(eller fler). Spelare A slår tärningarna. Med hjälp av de tillåtna räknesätten skall man klättra upp för stegen. Man klättra så många steg man kan. Man får inte hoppa över något steg. När man inte kan är det spelare B:s tur. Man måste vända uppe i toppen och gå ner igen.

T ex om man får 1, 2, 3 då kan man klättra på steg 1 för man har ju en etta, steg 2 för man har ju en tvåa, steg 3 för man har ju en trea, steg 4 för man kan addera 3+1=4, steg 5 för man kan addera 4+1 =5 och steg 6 för man kan addera 1+2+3=6. Men man kan inte få sju.

Jag har spelat detta med både sjuor och nior. Lika roligt och givande i alla klasser.

b) 21

Använd fem tärningar. Alla räknesätt är tillåtna och även olika positioner (t ex 5 och 2 kan vara 52 eller 25) T ex 5, 5, 2, 2 och 1

5*5=25

25-2=23

23-2=21

21/1=21

När du fått 21 ropa högt 21. Målet är att få 21 fem gånger då har man vunnit.

c) Höghuset

Spelare A	Spelare B
	99
89
56	48
42
	12

Spela två och två. Detta spel tränar positionssystemet. Använd två tärningar= ental och tiotal, Tre tärningar =ental, tiotal och hundratal.

T ex två tärningar. 5 och 7 blir 57 eller 75. Placera detta tal på ett lämpligt ställe i ditt hus. Turas om. När man inte kan står man över. Den som först fyllt sitt höghus vinner. Obs regeln är att det högsta talet placeras längst upp osv.

Fler spel/tips/idéer se Annas hemsida www.spelboden.com

2. Utomhusmatematik i närmiljön

På denna föreläsning fick vi se vad eleverna/studenterna på kursen; utomhusmatematik elevernas närmiljö 15 p hade gjort. Denna kurs ingår i lärarlyftet.

Fördelar och möjligheter med utomhusmatte.

Intryckets autencitet (miljön är äkta)

Situationens helhetskaraktär

Alla sinnen aktiva

Fysisk rörelse, motoriska färdigheter

Det man gör med kroppen fastnar i knoppen.

Matris

Det kan underlätta att göra en matris över kunskapsmålen när man sysslar med utomhusmatte. Det blir helt enkelt lättare att ha koll på att man får med allt.

Vad är en bra fråga?

Kräver mer än att upprepa inlärd fakta eller utföra en färdighet.

Har en inlärande komponent, dvs eleven kommer att lära sig genom att försöka besvara frågan, och läraren kommer att lära sig något om eleven.

Open-ended questions

Övningar

a) Bilmärkebingo

Låt eleverna ensamma eller i par komma på vilka bilmärkena är.

Bilar	Bilmärke
1. Tre romber	Mitsubishi
2. En romb som nästan är tredimesionell	Renault
3. tredjedelar	Mercedes
4. Två ellipser i en större ellips.	Toyata
5. Fjärdedelar (inre delen av märket)	Bmw
6. Cirkel med blixtdiamanter	Opel
7. Två lika fyrhörningar placerade den ena ovanför den andra. Varje figur har tre spetsiga vinklar en som är större än 250 grader.	Citroen

b) Reg-skyltar

Eleverna skall i denna övning hitta en registeringsskylt som passar i på uppgiften.

	Förslag 1	Förslag 2	Förslag 3
Summan =20
Subtrahera de två minsta från det största så svaret blir 0.
Produkt så nära 100 som möjligt

c) Medan vi går

Medan vi går en sträcka med en elevgrupp skall t ex eleverna hitta två röda saker, komma ihåg dessa och berätta när vi stannar. Fler saker och svårare tema med högre årskurser.

d) Utomhusgeometri

Hämta 16 pinnar- Hur många trianglar/rektanglar/ kvadrater osv kan du bygga med 16 pinnar?

Hämta 10 pinnar- Vilka djur kan dessa vara ben till?

Välj en storhet/motsatsord/jämförelseord/enhet som du illustrerar för din granne med din kropp. Grannen gissar. Vilka föremål kan du finna i utomhusmiljön som har med dessa storheter at göra?

3. Äventyr med problemlösning med Göran Emanuelsson och Lars Mouwitz

Problem 1

17 kameler skall ärvas av tre söner enligt testamentet:

1:a sonen skall ha hälften

2:a sonen skall ha en tredjedel

3:e sonen skall ha en niondel

Hur skall de lösa problemet?

Problem 2

Hur delar vi tre pajer på 4 personer?

Problem 3

Fyra söner skulle ärva ett kvadratiskt område. Enligt testamentet skall det delas i fyra delar av samma form och samma storlek, vart och ett försett med en ek. Hur löser man det? X= ekar , T=Tomma rutor

T	T	T	X	T	T	T	T
T	T	T	X	T	T	T	T
T	T	T	X	T	T	T	T
T	T	T	X	T	T	T	T
T	T	T	T	T	T	T	T
T	T	T	T	T	T	T	T
T	T	T	T	T	T	T	T
T	T	T	T	T	T	T	T

Problem 4

På hur många sätt kan man placera ljusstakarna på ett bord så att det bara förekommer två olika avstånd mellan ljusstakarnas medelpunkter. O= ljusstakarna.

O O O O

Problem 5

Snabba förbindelser

O O O

O O O

Hur skall man lägga kablar mellan dessa sex stationer så att den totala längden ska bli så liten som möjligt?

4. Matte på dagis/ mattemagi-små barnens kammare

Jag var på två olika föreläsningar om projekt kring matematik på förskolan.

Det första projektet kom från Eda kommun. De tipsade om olika litteratur och informationsbroschyrer de hade använt:

Föräldrar broschyrer på ncm.gu.se

Lpfö styrdokument

Nämnaren Tema matematik i förskolan

Med läroplanen på fickan

Matematik ute.

Aktiviteter de hade gjort med barnen:

Egna räknesagor; Om elva som möte tian och blev en etta. 11-10=1.

Vem kan bygga det högsta tornet med hjälp av pinnar?

Gör en mattekikare, gå ut i skogen och spana efter matte.

Barnen fick skriva egna dagböcker för att själva kunna se sitt eget lärande.

Tog kort på närmiljön och hittade olika geometriska former.

Det finns många fler exempel att hitta på ncm.gu.se

Den andra föreläsningen var från Rågsved.

Aktiviteter de hade gjort med barnen:

De hade gjort en veckokalender till varje barn. På eftermiddagen ritade barnet vad den hade gjort på förmiddagen och hängde upp bilden.

Mån	Tis	Ons	Tors	Fre	Lör	Sön
1	2	3	4	5	6	7
Bild

De hade också satt upp en tidslinje över årets månader på väggen. Under varje månad hängde en bild på utomhusmiljön. Det hängde också bilder på barnen, vilka som fyllde år.

De hade även gjort ett diagram över hur mycket temperaturen var inomhus

De hade gjort ett helt tema över spiraler. B l a hade de gjort egna snurror med två cd skivor och en tuschpenna. De hade en egen ramsa:

Solen skiner hela dagen (gör en cirkel med händerna)

Snigeln sakta går till stan (gör ett mönster av ett snigelskal i luften)

Ormen sover på en skatt (forma ett S på marken)

Väcks av barnens glada skratt (forma en glad mun över din mun)

På våren planterade de blommor och letade sniglar. Sniglarna tog in i ett akvarium där barnen kunde undersöka snigelns kraft.

Detta var mitt referat om mattebienalen 2010.